INTRODUCTION

Inspiré des oeuvres d'Escher et de Vasarely, ce travail s'appuie sur des théories mathématiques récentes alliant la topologie à la théorie des groupes.

Vous trouverez d'abord une représentation figurative des 19 familles de pavages du plan ainsi qu'un algorithme de classification.

Une seconde partie propose de nombreuses applications aux polygones, cylindres, sphères, spirales logarithmiques,   tores et nœuds.

Enfin, dans une troisième partie, vous pourrez manipuler en 3D quelques solides pavés.
 

CLASSIFICATION DES PAVAGES DU PLAN

Cette classification est définie par la règle suivante:

"Deux pavés sont équivalents si on peut passer de l'un à l'autre par une déformation continue"

Cette classification des pavages associe pour 15 des 17 groupes cristallographiques un unique type de pavé. Par contre, pour chacun des deux groupes restant (PG et PGG), on peut associer deux types de pavés topologiquement distincts.

La classification des pavages du plan, en fonction uniquement des groupes cristallographiques, ne vérifie pas cette règle à cause des groupes PG et PGG.

La classification isohedrale, basée sur le nombre d'arcs frontières d'un pavé, ne vérifie pas non plus cette règle, car par déformation continue, un arc  peut se réduire à un point.

Cette classification algébrique et topologique aboutie alors à 19 familles de pavages du plan.

Les pavés verts ont toujours le nombre maximum d'arcs frontières. L'algorithme permet de classer chacune de ces 19 familles de pavages du plan selon cette règle.
 

SURFACES 3D

Les illustrations présentées ici sont des captures de surfaces 3D plus étonnantes encore:

Sur le réseau de spirales logarithmiques, on peut modifier automatiquement le nombre de spirales de chaque couleur, les rapports de similitudes, faire entrer ou sortir les éléphants jaunes au survol de la souris.

 Vous observerez sur cette image qu'il y a 1 spirale jaune sortante, 17 spirales rouges sortantes, 18 spirales oranges entrantes et qu'à chaque tour les éléphants jaunes grandissent selon le nombre d'or.
 

GROUPE  P3

GROUPE  P6

GROUPE  PG1
Variante de type P1

GROUPE  P31M

GROUPE  P1

GROUPE  P3

GROUPE  PG2

GROUPE  PG1

GROUPE  P4G
 Variante de type  P4.

GROUPE  P4

GROUPE  PMG

GROUPE  P31M

MODÉLISATION 3D PRINCIPAUX OUTILS

Les  sculptures   présentées
ici peuvent être facilement tournées , déplacées ou agrandies en utilisant la barre d'outils.
 

SPHÈRE
pavé de type P6

NOEUD
pavé de type PGG1

NOEUD
pavé de type PM

NOEUD
pavé de type P3

Vous trouverez aussi
sur mon site
http://www.hedrasculpt.com
des prismes, polyèdres
et fractales figuratifs
à manipuler en 3D

Contact
savanturier@polytess.info